春晚刘谦魔术的模拟程序

昨晚春晚上刘谦的两个魔术表演都非常精彩，尤其是第二个魔术，他演绎了经典的约瑟夫环问题！

什么是约瑟夫环问题？

约瑟夫环（Josephus problem）是一个经典的数学问题，最早由古罗马历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯提出，但它的名字是在19世纪由德国数学家约瑟夫·乔瑟夫斯（Josef Stein）命名的。

问题的描述是这样的：假设有n个人（编号从1到n）站成一个圆圈，从第一个人开始报数，报到某个数字（例如k）的人就被杀死，然后从下一个人开始重新报数并继续这个过程，直到只剩下一个人留下来。

问题的关键是找出存活下来的那个人的编号。

结合扑克牌解释约瑟夫环问题

1、考虑最简单的情况

假设有2张牌，编号分别是1和2。

首先将1放到后面，扔掉2。剩下的就是最开始放在最上边的那张1。

2、稍微复杂一点的情况，牌的张数是2的n次方

比如有8张牌，编号分别是1、2、3、4、5、6、7、8。

第一轮会把2、4、6、8扔掉，剩下1、3、5、7按顺序放在后面，又退化成了4张牌的情况。

第二轮会把3、7扔掉，剩下1、5按顺序放在后面，又退化成了2张牌的情况。

第三轮把5扔掉，剩下1，就是最初在最前面的那张。

结论：如果牌的张数是2^n，最后剩下的一定是最开始放在牌堆顶的那张。

3、考虑任意的情况，牌的张数是2^n+m

比如牌的张数是11，等于8+3。把1放到后面，把2扔掉，把3放到后面，把4扔掉，把5放到后面，把6扔掉，现在剩下的编号序列是7、8、9、10、11、1、3、5，这又是8张牌的情况！最后一定剩下的是现在牌堆顶的7！

因此，只要提前知道牌的张数，就一定能马上推导出最终是剩下哪一张牌。一切的魔法都是数学！！都是算法！！

见证奇迹的时刻！魔术的流程

1. 4张牌对折后撕开，就是8张，叠放在一起就是ABCDABCD。注意，ABCD四个数字是完全等价的。
2. 根据名字字数，把顶上的牌放到下面，但怎么放都不会改变循环序列的相对位置。譬如2次，最后变成CDABCDAB；譬如3次，最后换成DABCDABC。但无论怎么操作，第4张和第8张牌都是一样的。
3. 把顶上3张插到中间任意位置。这一步非常重要！因为操作完之后必然出现第1张和第8张牌是一样的！以名字两个字为例，可以写成BxxxxxxB（这里的x是其他和B不同的牌）。
4. 拿掉顶上的牌放到一边，记为B。剩下的序列是xxxxxxB，一共7张牌。
5. 南方人/北方人/不确定，分别拿顶上的1/2/3张牌插到中间，但是不会改变剩下7张牌是xxxxxxB的结果。
6. 男生拿掉1张，女生拿掉2张。也就是男生剩下6张，女生剩下5张。分别是xxxxxB和xxxxB。
7. 循环7次，把最顶上的放到最底下，男生和女生分别会是xxxxBx和xxBxx。
8. 最后执行约瑟夫环过程！操作到最后只剩下1张。当牌数为6时（男生），剩下的就是第5张牌；当牌数为5时（女生），剩下的就是第3张牌。Bingo！就是第4步拿掉的那张牌！

下面是完整的 JavaScript 代码实现：

// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到末尾
function moveCardBack(n, arr) {
// 循环n次，把队列第一张牌放到队列末尾
for (let i = 0; i < n; i++) {
const moveCard = arr.shift();  // 弹出队头元素，即第一张牌
arr.push(moveCard);            // 把原队头元素插入到序列末尾
}
return arr;
}
// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到中间的任意位置
function moveCardMiddleRandom(n, arr) {
// 插入在arr中的的位置，随机生成一个idx
// 这个位置必须是在n+1到arr.length-1之间
const idx = Math.floor(Math.random() * (arr.length - n - 1)) + n + 1;
// 执行插入操作
const newArr = arr.slice(n, idx).concat(arr.slice(0, n)).concat(arr.slice(idx));
return newArr;
}
// 步骤1：初始化8张牌，假设为"ABCDABCD"
let arr = ["A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D"];
console.log("步骤1：拿出4张牌，对折撕成8张，按顺序叠放。");
console.log("此时序列为：" + arr.join('') + "\n---");
// 步骤2（无关步骤）：名字长度随机选取，这里取2到5（其实任意整数都行）
const nameLen = Math.floor(Math.random() * 4) + 2;
// 把nameLen张牌移动到序列末尾
arr = moveCardBack(nameLen, arr);
console.log(`步骤2：随机选取名字长度为${nameLen}，把第1张牌放到末尾，操作${nameLen}次。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤3（关键步骤）：把牌堆顶三张放到中间任意位置
arr = moveCardMiddleRandom(3, arr);
console.log(`步骤3：把牌堆顶3张放到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤4（关键步骤）：把最顶上的牌拿走
const restCard = arr.shift();  // 弹出队头元素
console.log(`步骤4：把最顶上的牌拿走，放在一边。`);
console.log(`拿走的牌为：${restCard}`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤5（无关步骤）：根据南方人/北方人/不确定，把顶上的1/2/3张牌插入到中间任意位置
// 随机选择1、2、3中的任意一个数字
const moveNum = Math.floor(Math.random() * 3) + 1;
arr = moveCardMiddleRandom(moveNum, arr);
console.log(`步骤5：我${moveNum === 1 ? '是南方人' : moveNum === 2 ? '是北方人' : '不确定自己是哪里人'}，\
把${moveNum}张牌插入到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤6（关键步骤）：根据性别男或女，移除牌堆顶的1或2张牌
const maleNum = Math.floor(Math.random() * 2) + 1;  // 随机选择1或2
for (let i = 0; i < maleNum; i++) {  // 循环maleNum次，移除牌堆顶的牌
arr.shift();
}
console.log(`步骤6：我是${maleNum === 1 ? '男' : '女'}生，移除牌堆顶的${maleNum}张牌。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤7（关键步骤）：把顶部的牌移动到末尾，执行7次
arr = moveCardBack(7, arr);
console.log(`步骤7：把顶部的牌移动到末尾，执行7次`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);
// 步骤8（关键步骤）：执行约瑟夫环过程。把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。
console.log(`步骤8：把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。`);
while (arr.length > 1) {
const luck = arr.shift();  // 好运留下来
arr.push(luck);
console.log(`好运留下来：${luck}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
const sadness = arr.shift();  // 烦恼都丢掉
console.log(`烦恼都丢掉：${sadness}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
}
console.log(`---\n最终结果：剩下的牌为${arr[0]}，步骤4中留下来的牌也是${restCard}`);

这段代码实现了昨晚春晚上刘谦的第二个魔术表演的过程，并提供了详细的解释。享受魔术的魅力吧！

原文链接：https://juejin.cn/post/7332865125640044556 作者：小u